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Category: Medical / Health
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4 面体 (正3角錐) の重心 〜 重心を透視できる4面体づくり 〜. 4面体断面見取り図づくり. 4面体の断面4面体を作る. 右上図は、4面体 ABCD 右下図は、4面体 ABCD を ABM で切断し、 4面体 ABCM と4面体 ABDM の二つに 2等分したもの. 3垂線は一点で交わる. 三角形の重心は中線を2:1に内分する点. 左上 △ BCD の重心 H は、 BH : HM = 2 : 1 の点。 ・ 左下 4面体の一面△の重心. 切断面で考える. 切断面に補助線を引く. 補助線を引いて推論する. △ABM において
Transcripts
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4 面体 (正3角錐) の重心 〜 重心を透視できる4面体づくり 〜

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4面体断面見取り図づくり

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4面体の断面4面体を作る 右上図は、4面体 ABCD 右下図は、4面体 ABCD を ABM で切断し、 4面体 ABCM と4面体 ABDM の二つに 2等分したもの

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3垂線は一点で交わる

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三角形の重心は中線を2:1に内分する点 左上 △ BCD の重心 H は、 BH : HM = 2 : 1 の点。 ・ 左下 4面体の一面△の重心

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切断面で考える

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切断面に補助線を引く

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補助線を引いて推論する △ABM において AG 2 =BG 1 より AB/G 2 G 1 よって △ ABM ∽ △G 2 G 1 M したがって  AM : G 2 M = 3 : 1= AB : G 2 G 1 (中点連結定理の拡張により) さらに、△ ABG ∽ △G 2 G 1 G により AG : GG 1 =3 :1 以降、  辺の長さを用いて計算して4面  体の重心が垂線を3:1に内分する点であることを検証することになる。

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三角錐の重心が3:1であることを計算で証明する 一辺を√2 a とすると、 BM は直角三角形 BCM より、 BM 2 +CM 2 =BC 2 BM 2 =BC 2 - CM 2 <*>△BCD において BG 1 :G 1 M=2:1 より =(√ 2 a) 2 - (√ 2 a/2) 2 BG 1 =2BM/3=(2/3)(√6a/2 )= √6a/3 =3a 2/2 (=AG 2 ) BM=√3a/√2= √6a/2 (=AM) G 1 M=BM/3=(1/3)(√6a/2 )= √6a/6 <* へ続く > 垂線 AG 1 =BG 2 は、 <**> AB:G 2 G 1 =3:1=AG:GG 1 により AG 1 2 =AM 2 - G 1 M 2 AG = (3/4)AG 1 =3/4×2a/√3=√3a/2 = (√6a/2 ) 2 - (√6a/6) 2 GG 1 =(1/4) AG 1 = 1/4×2a/√3=√3a/6 =4a 2/3         よって AG 1 =2a/√3 (AG/GG 1 ) = (√3/2) a/(√3/6) a <** へ続く > = √3/2×6/√3=3/1

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