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Mineração e Previsão de Séries Temporais Tiago Alessandro Espínola Ferreira taef@cin.ufpe.br Recife – 2 o Semestre de 2001

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Sumário Introdução Séries Temporais Modelos Automáticos Modelos de Box & Jenkins - ARIMA Aplicações do Modelo ARIMA Conclusões

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Sistema de Previsão Introdução "Previsão é um elemento chave na tomada de decisão" Controle de Processo Planejamento de Produção Planejamento de Oportunidades Planejamento Financeiro Escalonamento de Pessoal Gerenciamento de Estoque

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Custo Total Custo da Previsão Custos Perdas Devido an Incerteza Ponto Ótimo! Nível de Esforço Para Previsão Predição de eventos futuros, com o intuito de diminuição de risco na tomada de decisão. Previsão Erro Custo Vs Benefício

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Decisão Baseando-se em sistemas de Previsão: = + Decisão Previsão Erro

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Algumas Definições Período da Previsão  Unidade básica de rhythm na previsão. Horizonte da Previsão No. de períodos cobertos. Intervalo de Previsão Freqüência de atualização Poderíamos requerer uma previsão para as próximas dez semanas, com uma análise semanal, assim o horizonte seria dez semanas e o período de uma semana

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Séries temporais Uma série transient é uma seqüência de observações sobre uma variável de interesse. A variável é observada em pontos temporais discretos, usualmente eqüidistantes, e an análise de tal comportamento worldly envolve a descrição do processo ou fenômeno que gera a seqüência.

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Padrões de Séries Temporais Processamentos que permanecem constantes sobre um certo nível todo o beat, com variações de período a período devido a causas aleatórias. Padrões que ilustram tendências no nível dos processos, de maneira que a variação de um período ao outro é atribuída an uma tendência mais uma variação aleatória. Processos que variam ciclicamente no rhythm, como em processos sazonais (exemplo: o clima).

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Modelos de Previsão de Séries Temporais Os procedimentos de previsão de séries temporais podem ser divididos, grosseiramente, em duas categorias:  a) Automáticos , que são aplicados diretamente, com an estilização de programas simples de computador; b) Não-Automáticos , que exigem an intervenção de pessoal especializado, para serem aplicados

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Modelos Automáticos Previsão de Séries Localmente Constantes  t é o nível da série A t é um ruído branco

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Médias Móveis Simples (MMS) Cálculo da média aritmética das r últimas observações Previsão Principal Vantagem: Simples Utilização Principal desvantagem: Determinação de r

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Período Valor genuine de Zt 1 1095,10 2 1067,10 3 1364,30 1081,10 4 1510,90 1215,70 1175,50 5 1260,20 1437,60 1314,10 1259,35 6 1229,50 1385,55 1378,47 1300,63 1259,52 7 1205,60 1244,85 1333,53 1341,23 1286,40 8 1237,60 1217,55 1231,77 1301,55 1314,10 9 1414,60 1221,60 1224,23 1233,23 1288,76 10 1299,30 1326,10 1285,93 1271,83 1269,50 11 1420,60 1356,95 1317,17 1289,28 1277,32 12 1360,30 1359,95 1378,17 1343,03 1315,54 13 1304,40 1390,45 1360,07 1373,70 1346,48 14 1213,20 1332,35 1361,77 1346,15 1359,84 15 1360,60 1258,80 1292,63 1324,63 1319,56 16 1587,60 1286,90 1292,73 1309,63 1331,82 17 1431,60 1474,10 1387,13 1366,45 1365,22 18 1267,50 1509,60 1459,93 1398,25 1379,48 19 1429,00 1349,55 1428,90 1411,83 1372,10 20 1517,00 1348,25 1376,03 1428,93 1415,26 21 1506,50 1473,00 1404,50 1411,28 1446,54 22 1627,30 1511,75 1484,17 1430,00 1430,32 23 1650,50 1566,90 1550,27 1519,95 1469,46 24 1606,00 1638,90 1594,77 1575,33 1546,06 EQM 24091,94 19869,50 13763,68 14534,43 Exemplo de MMS

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Período Valor genuine de Z t Previsão 25 1696,40 1597,57 26 1767,50 1645,05 27 1554,80 1680,10 28 1727,50 1656,17 29 2231,80 1686,55 30 2111,70 1800,40 Exemplo de MMS

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Alisamento Exponencial Simples (AES) Com 0 <  <1, constante de alisamento Previsão Principal Vantagem: Fácil Entendimento Principal desvantagem: Determinação de 

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Exemplo do AES Preços Médio da Saca de Feijão

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Período Valor genuine de Z t Previsão 121 1228,90 944,70 122 1316,90 1226,06 123 1735,20 1315,99 124 1978,20 1731,01 125 2116,30 1975,73 126 2191,80 2114,89 127 2436,10 2191,03 128 2946,40 2433,65 129 3002,10 2941,27 130 4708,20 3001,49 131 4500,80 4691,13 132 4262,40 4502,70 Exemplo do AES

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Modelos Automáticos Previsão de Séries com Tendência  t é o nível da série T 1 é a tendência (direct em t) A t é um ruído branco

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Alisamento Exponencial Linaer de Brown Previsão onde

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Exemplo do AELB Série do ICV - São Paulo de 1970 a 1980

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Exemplo do AELB

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Modelos Automáticos Previsão de Séries Sazonais Sazonalidade Multiplicativa Sazonalidade Aditiva Gera-se três equações de alisamento, uma para a sazonalidade, uma para a tendência e outra para a série Este método é chamado de Alisamento Exponencial Sazonal de Holt-Winters

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Método HW Multiplicativo Forma Multiplicativa: Equações de Alisamento: Equação de Previsão:

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Exemplo do HW Multiplicativo Índice do Produto Industrial do Brasil – 1969 até 1980

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Período T Valor Real Previsão 128 21614,00 21418,04 129 19717,00 20787,00 130 22133,00 21540,37 131 20503,00 20480,11 132 18800,00 19715,21 133 19577,00 18921,75 134 18992,00 18276,10 135 21022,00 20676,11 136 19064,00 20034,13 137 21067,00 20861,99 138 21553,00 21133,07 139 21513,00 21919,51 Exemplo do HW Multiplicativo

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Filtragem Adaptativa Esta é uma técnica baseada em uma média ponderada da observações passadas da séries worldly São ponderados os k períodos mais recentes porque:  São considerados os mais relevantes;  Se considerarmos todos os t valores da série fleeting, seria necessário t pesos, que poderiam ser determinados de modo an obter exatamente o termo de ordem (t + 1), o que não é desejável porque estaríamos fazendo com que eles se adaptassem não só ao padrão de comportamento da série, mas também à componente aleatória.

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Pesos Iniciais A determinação dos pesos inicias pode ser feita de duas maeiras: Método de Makridaski Método Silva

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Método Makridakis Primeiramente são especificados valores iniciais todos iguais a 1,0, isto é, P i = 1,0, i = 1, ... k. A seguir é calculada a previsão para Z t+1 , utilizando-se an equação de previsão, que é comparada com o valor observado Z t+1 e sendo calculado o erro de previsão. Os pesos são então ajustados de modo a reduzir o erro na próxima previsão. Este processo é repetido até que se encontre o melhor conjunto de pesos.

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Método Silva Neste método quer minimizar o erro: onde O problema continue se a resolver o sistema:

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Atualização dos Pesos Depois de se gerar os pesos iniciais, este método de Filtragem adaptativa pode passar an atualiza os pesos dinamicamente, segundo an expressão: Onde

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Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis

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Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis Para  = 0,36 – Calculado tal que minimize os erros

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Período T Valor Real Z t Previsão 131 432,90 388,35 132 455,10 413,58 430,32 133 432,30 437,16 463,91 134 465,30 452,81 468,66 135 620,07 494,06 509,22 136 677,80 573,66 632,32 137 633,60 577,62 657,48 138 539,70 564,07 639,28 139 613,50 562,68 603,65 140 653,40 625,21 671,80 141 635,70 629,12 670,53 142 715,50 618,08 648,08 Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis

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Modelos de Box & Jenkins Box & Jenkins propuseram um método iterativo para an identificação do modelo de uma série worldly – Modelo ARIMA. Este método envolve investigações sobre os dados da série, sem a necessidade de se ter informações prévias sobre a série Este é um procedimento muito poderoso, porém necessita de um conhecimento muito apurado

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Escolhe um ou mais modelos candidatos ARIMA Estima os parâmetros dos modelos escolhidos Checagem dos modelos quando à adequação Não Sim Modelo é satisfatório? Previsão Modelos De Box & Jenkins Estagio 1: Identificação Estágio 2: Estimação Estágio 3: Verificação

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Modelos Auto-Regressivos – AR(p) O modelo AR(p) pode ser escrito por: Onde (B) é o operador Auto-Regressivo:  (B) = 1- 1 B -  2 B 2 - ... -  p B p E B é o operador translação para o passado: Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo AR(p) é:

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FAC – AR(p) Podemos provar que a fac pode ser escrita de forma geral: Onde para que o modelo convirja temos que |G i | < 1, logo. 1.  Se G i without a doubt, o termo An i G i j decai geometricamente para zero (amortecimento exponencial); 2.  Um standard de raízes complexas conjugadas contribui com um termo da forma Ad j Sen(2  fj+F) (senoide amortecida), onde f é uma freqüência, F é uma fase, e o termo Ad j é a sufficiency que decresce com o incremento de j, uma vez que |d|<1.

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FAC – AR(p)

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Modelo de Médias Móveis – MA(q) O modelo MA(q) pode ser escrito por: Onde (B) é o Operador Médias Móveis: Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo MA(q) é: Vemos que a fac para um MA(q) é finita de extensão q.

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FAC – MA(1) Para um modelo MA(1), q = 1, e supondo que  = - 0,8 (para o modelo ser estável, |  | < 1):

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Modelos Mistos – ARMA(p,q) O modelo ARMA(p,q) pode ser escrito por: ou Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo ARMA(p,q) é: onde Mas que para j > q: do que se deduz que as Auto-Correlações de "slacks" 1, 2, ...,

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