LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN Jos Alfredo Amor jaamhp.fciencias.unam.mx .


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LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN José Alfredo Amor jaam @hp.fciencias.unam.mx. Resumen
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LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN José Alfredo Amor jaam @hp.fciencias.unam.mx Resumen La lógica clásica de preliminary orden con igualdad es la rama más estudiada, aplicada y conocida de la lógica contemporánea. Desde luego, presuponemos que la lógica proposicional o lógica de enunciados, forma parte de la lógica de preliminary orden. La razón de esto es su riqueza expresiva, su versatilidad y aplicabilidad, sus teoremas fundamentales, así como su uso de modo importante en matemáticas, filosofía de la ciencia, ciencias de la computación y el razonamiento automático. Esto último ha tenido un desarrollo espectacular en la segunda mitad del siglo pasado. Por otro lado, la lógica clásica ha sido el punto obligado de referencia y comparación para la gran cantidad de lógicas no clásicas que se han desarrollado en ese siglo. El razonamiento deductivo clásico es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos; esas conclusiones se conocen como consecuencias lógicas de las suposiciones o hechos. El razonamiento deductivo correcto es el razonamiento deductivo en el que las conclusiones se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos. Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio del razonamiento deductivo correcto. El objetivo major de la lógica en general es explicar la noción de consecuencia lógica la cual es una relación que se da entre un conjunto de enunciados (llamados premisas) y un enunciado specific (llamado conclusión). Dicho concepto de consecuencia lógica, en el caso de la lógica clásica de groundwork orden con igualdad, representa con meticulousness matemático la thought intuitiva de inferencia válida o inferencia correcta. Para lograr este objetivo, la lógica clásica de groundwork orden con igualdad utiliza, al igual que muchas otras lógicas, un lenguaje formal propio, definido de un modo riguroso al estilo matemático, basado en formas y no en significados. Los lenguajes formales child muy diferentes a los lenguajes naturales, por ejemplo sus símbolos forman oraciones de un modo absolutamente preciso, lo que evita ambigüedades como las de los lenguajes naturales y su interpretación está definida también de un modo riguroso por lo que los conceptos de verdadero o falso quedan definidos también de modo preciso.

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Lógica de Predicados o Lógica de Primer Orden o Lógica Cuantificacional José Alfredo Amor Facultad de Ciencias UNAM jaam@hp.fciencias.unam.mx Abril de 2005

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En el lenguaje coloquial se llama "lógico " a lo que es considerado de sentido común ¿Este sentido común que aplicamos en situaciones reales debe dirigir la construcción del razonamiento lógico? o por el contrario, ¿Son las normas de la lógica las que deben regir nuestra manera common de razonar?

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Es decir: ¿La manera regular de razonar determina a la lógica, o la lógica nos enseña a razonar correctamente? ¿Qué es lo lógico y lo no lógico?

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¿ Esto es lógico o no lógico ?

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¿ Esto es lógico o no lógico ?

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LA LÓGICA Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio del razonamiento deductivo correcto . El razonamiento deductivo correcto es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos, en el que las conclusiones se siguen necesariamente de las suposiciones o hechos.

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Esto es sumamente importante en matemáticas, ya que las pruebas en matemáticas child sucesiones de argumentos, y estos deben ser argumentos correctos. Resulta pues obvia la importancia de saber si un argumento dado es correcto o no.

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DIPLOMADO EN LOGICA Módulo: Lógica de Predicados I. LA LOGICA DE PREDICADOS (o cuantificacional o de preliminary orden) II. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN III. SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN ENFOQUE COMPUTACIONAL

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I. LA LOGICA DE PREDICADOS (O CUANTIFICACIONAL O DE PRIMER ORDEN) 1.Lenguajes naturales y lenguaje analítico. 2.Traducciones del lenguaje characteristic al lenguaje analítico, e inversamente. 3.Relación entre la lógica proposicional y la lógica cuantificacional. 4.Reglas de formación de fórmulas. Factors, enunciados. La igualdad.

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II. LA SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN 1. Prerrequisitos de teoría de conjuntos. 2. Interpretaciones: verdad o falsedad de enunciados respecto an una interpretación. 3. Definición de verdad de Tarski. Fórmulas lógicamente válidas. 4. Argumentos deductivos válidos e inválidos. 5. La igualdad. Fórmulas y argumentos que incluyen igualdades.

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III. LA SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN 1. Deducción regular. Solo reglas. Correctud y Completud. 2. Sistemas axiomáticos: axiomas, reglas de inferencia y definición de deducción. Metateorema de la Deducción. Correctud y Completud. 3.Otros conceptos relacionados: teorías, consistencia, satisfacibilidad, completud, axiomatizabilidad, decidibilidad, and so on

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IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN ENFOQUE COMPUTACIONAL 1. Regla de RESOLUCION. Correctud y Completud 2. Demostración Automática de Teoremas 3. Programación Lógica

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Enunciados simples Paris es la Capital de Francia 2 + 2 = 1 El Sol es una estrella Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005 La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes

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Enunciados simples Paris es la Capital de Francia C(p,f) 2 + 2 = 1 =(2+2, 1) El Sol es una estrella E(s) Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005 PM(f,2005) La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes est(u)>250 mil

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Enunciados complejos Tegucigalpa es la capital de algún país y alguna ciudad es la capital de Costa Rica Caracas es la capital de Venezuela y San José es la capital de Costa Rica Si 2+2 = 4 y 4 es standard, entonces 2+2 es standard No existe alguien que rasure a todos los que no se rasuran a si mismos y sólo an esos

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CUANTIFICADORES Y VARIABLES El uso de cuantificadores y factors no es común en el lenguaje coloquial. Pero cuando se comprende su poder expresivo y riguroso se ha dado el groundwork paso para saber expresarse con él.

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Lenguaje formal LP : símbolos básicos Parámetros de predicado: letras mayúsculas del alfabeto P, Q, R, … . Parámetros de constante: letras minúsculas a, b, c, … . Factors individuales: x, y, z, w, … . Símbolos lógicos: ,  ,  ,  , , = Símbolos de cuantificación: ,  Símbolos auxiliares: ), (

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Reglas de construcción de fórmulas de LP *Todo parámetro de predicado aplicado a constantes o factors y toda igualdad de constantes o factors, es una fórmula (atómica) de LP *Si  y  child fórmulas de LP, entonces (  ), (    ), (    ), (    ) y (    ) child fórmulas de LP *Si  es una fórmula de LP y x es una variable entonces (  x ) y (  x ), child fórmulas de LP

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Formalizar el Lenguaje Coloquial No se pretende formalizar todo el lenguaje coloquial sino el de contenido preciso estilo matemático: " Todo S es P " y " Algún S es P "  x[S(x)  P(x)] y  x [S(x)  P(x)] S(x) simboliza "x es S" y P(x) "x es P" Estas expresiones child nuevas para el alumno por eso feed dificultad para representarlas

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Proposiciones Categóricas en LP UNIVERSAL AFIRMATIVA NEGATIVA A : Todo S es P E : Ningún S es P  x [S(x)  P(x)]  x [S(x)   P(x)]   x [S(x)  P(x)] PARTICULAR AFIRMATIVA NEGATIVA I : Algún S es P O : Algún S no es P  x [S(x)  P(x)]  x [S(x)   P(x)]

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EXPRESIVIDAD DEL LENGUAJE LP ( PERROS Y CARTEROS) 1. Todos los perros muerden an algún cartero  x[P(x)   y(C(y)  M(x, y))] 2. Roughage un cartero al que muerden todos los perros  x[C(x)   y(P(y)  M(y, x)] 3. Todos los carteros child mordidos poralgún perro  x[C(x)   y (P(y)/\ M(y, x)] 4. Roughage un perro que muerde a todos los carteros  x [P(x)/\  y(C(y)  M(x, y)]

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Y SE PUEDE COMPLICAR! Todos los perros que asustan an algún cartero, lo muerden:  x  y [P(x)/\ C(y)/\ A(x, y)  M(x, y)] o bien:  x[P(x)   y(C(y)/\ A (x, y)  M(x, y))] Hay un perro que muerde a todos los perros que muerden an algún cartero:  x[P(x)/\  y ( P(y)/\  z ( C(z )/\ M(y,z))  M(x,y))]

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Ejemplos Fórmulas de LP Todos child amigos de alguien:  x  y A(x, y) Todos child amigos de todos:  x  y A(x, y) Juan vió a María con el telescopio: VT(j, m) ? V(j, m)  T(m) ? Alguien es amigo de todos:  x  y A (x, y)

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Ejemplos de Fórmulas de LP  x [P(x, c)   y P(y, c)]  x[(P(x)Q(x))  (Q(x) P(x))] x [P(x)  y (P(y)  x = y)] [x P(x)]  xy[P(x)P(y)x = y]

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CRITERIOS DE VERDAD Objetivos : conocer los criterios de verdad de los conectivos, los cuantificadores y la igualdad. Saber analizar a partir de ellos, la verdad o falsedad de cualquier enunciado interpretado. Especialmente el caso del condicional.

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Negación "no P" denotada (  P), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es falsa respecto an esa interpretación.

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Disyunción "P o Q" denotada (P  Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto an esa interpretación o Q es verdadera respecto an esa interpretación. Queda incluida aquí la posibilidad de que ambas

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