Repaso de conceptos b sicos de matem ticas necesarios para establecer equalizations .


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Repaso de conceptos básicos de matemáticas necesarios para establecer balances. Jesús Carrera IJA Ciencias de La Tierra CSIC. Motivación. Para actuar sobre el territorio es necesario cuantificar. Para ello: Compresión del fenómeno (peculiaridades)
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Repaso de conceptos básicos de matemáticas necesarios para establecer parities Jesús Carrera IJA Ciencias de La Tierra CSIC Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Motivación Para actuar sobre el territorio es necesario cuantificar. Para ello: Compresión del fenómeno (peculiaridades) Principios generales (Conservación de masa, energía, and so forth) Esto se puede hacer de muchas maneras y a muchas escalas. Escala integrada (cajas) Distribuida (mecánica de medios continuos, estadística, atomic o cuántica) El "lenguaje" que se emplea es el de las matemáticas, pero el "dialecto" depende de la escala Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Contenido Niveles de descripción de la naturaleza Balances de masa integrados (cajas) Ecuaciones diferenciales ordinarias Balances de masa distribuidos en espacio Campos: definiciones y conceptos básicos Operadores diferenciales: gradiente y tal Teoremas integrales: Gauss, Stokes, and so on Ecuaciones diferenciales de adjust: conceptos y soluciones Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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La naturaleza se puede describir a muchas escalas P.ej., se puede estudiar la temperatura media de La Tierra haciendo un adjust de Energía, con solo conocer el albedo O la de un lago (aquí las interacciones child mas complejas) Los modelos agregados tratan los sistemas "cajas" y los describen a través de los valores medios de sus "factors de estado", que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago). En ambos casos T(t) Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Ejemplo 1: Un lago que recibía un caudal de entrada de 110 L/s con una salinidad (TDS) de 100 mg/L. Del mismo salía un arroyuelo de 10 L/s. Estudiar la salinización del lago al ponerse en marcha un proyecto de regadío. Como la cartografía es mala, conclude la superficie y volumen históricos del lago a partir de la observación de que se evapora 1 m/año y que el vaso del lago es cónico con pendiente horizontal del 1% Deduce la concentración histórica del lago. Al ponerse en marcha el regadío, se derivan 70 L/s del lago, de los que 10 vuelven como retorno de regadío, presumiblemente trayendo todas las deals que llevaba el agua de riego. Repite el adjust de agua del apartado 1 para deducir la superficie y volumen a que tenderá el lago. Repite también el adjust de deals para calcular el valor al que tenderá la nueva salinidad del lago. Sorprendido por el resultado del cálculo foremost, Eugenio analiza la situación y se da cuenta que dejarán de salir los 10 L/s del arroyuelo, por lo que te pide que recalcules como evolucionará en el tiempo la salinidad con esta nueva hipótesis. Sugiere una manera de reducir el impacto del secado del arroyuelo. (El lago es una CAJA) Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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La naturaleza se puede describir a muchas escalas Los modelos agregados tratan los sistemas "cajas" y los describen a través de los valores medios de sus "factors de estado", que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago). La mecánica de medios continuos portray el medio mediante factors de estado, definidas sobre el continuo en el Espacio Geométrico Ordinario (EGO) y el tiempo, que se rigen por leyes macroscópicas (p.ej., la Ley de Hooke y la elasticidad, o la de Newton y la mecánica de fluidos) En ambos casos, ahora T( x ,t) Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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EJEMPLO 2: Se create accidentalmente una liberación desastrosa de 1 kg de un gas extremadamente tóxico an una altura de 200 m en un momento en que la velocidad del viento es de 10 km/h y se dan unas condiciones de estabilidad atmosférica de Pasquill tipo B. An una distancia de 2 km a sotavento se encuentra un pueblo. La cuestión es cuál es la concentración máxima que se llegará an alcanzar en el pueblo, cuándo ocurrirá y cuál será la extensión de la zona contaminada. Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Se pueden necesitar escalas mas detalladas sepiensa.org.mx Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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La naturaleza se puede describir a muchas escalas Los modelos agregados tratan los sistemas "cajas" y los describen a través de los valores medios de sus "factors de estado", que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago). La mecánica de medios continuos depict el medio mediante factors de estado, definidas sobre el continuo en el Espacio Geométrico Ordinario (EGO) y el tiempo, que se rigen por leyes macroscópicas (p.ej., la Ley de Hooke y la elasticidad, o la de Newton y la mecánica de fluidos) La mecánica estadística portray el comportamiento de sistemas macroscópicos a partir del de partículas que obedecen leyes de la mecánica clásica (o de la cuántica). Para la agregación se utilizan herramientas estadística. La dinámica atomic estudia sistemas moleculares complejos mediante simulación numérica en la que se permite que átomos y moléculas interactúen bajo las leyes de la física. Se utiliza para estudiar el comportamiento de moléculas con las que no es fácil experimentar. La mecánica cuántica depict el comportamiento de átomos, moléculas y partículas elementales y sus interacciones sobre la base de: cuantización, dualidad onda-partícula y descripción probabilística (inc. ppio de incertidumbre). Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Modelos agregados El estado del sistema se characterize por una (o varias) factors de estado, que (normalmente) evolucionan en el tiempo. Esta evolución está controlada por algún principio de conservación (masa, energía, cantidad de movimiento). Nosotros tenderemos a llamarlo "adjust" (de masas o energía). Al escribir este principio de conservación, suele resultar una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), que se ha de resolver. Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Planteamiento del Balance de masas escalar Var. Estado: V, C Degradación - l C Q·C e Q·C Balance: Var. Almac.= Entradas – Salidas Permite evaluar la evolución fleeting En estacionario: Entradas = Salidas Ejemplo Entradas: Q, C e Definición del medio (lago, reactor, rio, … ): V, C Procesos que ocurren en el medio: l Salidas: Sale con la concentración media Concentración inicial: C 0 Planteamiento del Balance Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Discusión del planteamiento Var. Estado: V, C Degradación - l C Q·C e Q·C Acotar y definir bien el medio suele ser una de las primeras tareas. Su geometría suele tomarse invariante, pero puede variar con el tiempo. Las entradas suelen ser un dato, aunque, en la realidad, se puede actuar sobre ellas (p.ej.: Reducir Ce) Tiempo medio de residencia Procesos Contienen la "chicha" del fenómeno Pueden ser complejos Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Ejemplo Var. Estado: V, C Degradación - l C Q·C e Q·C Q = 2 m3/dia Caudal V = 80 m3 Volumen C 0 =17 g/m3 Conc. Inic l = 0,1 dia - 1 Const. Degradación C e =1000 g/m3 Concentración Entrada Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Solución estacionaria Imponer derivada fleeting nula: Operar Despejar C Sustituir valores (verificar unidades): Var. Estado: V, C Degradación - l C Q·C e Q·C Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Evolución worldly Dos posibilidades Numérica Analítica Solución numérica Inicializar: k=0, C 0 =C o k=k+1 Aproximar derivadas Evaluar adjust Despejar C k+1 Repetir pasos 2-5 hasta acabar Ventajas: Se puede hacer en hoja Excel, fácil, rápido Inconvenientes: Ojo an enterarse de qué depende cada cosa y an errores numéricos Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Solución Analítica: EDO\'s lineales Escribir ecuación de forma cómoda , donde y Resolver ecuación homogénea (hacer b=0) Variación de las constantes: suponer A=A(t) y sustituir en ec. unique Integrar Sustituir valores iniciales para calcular B Sustituir B en la solución  Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Separación factors cuando a y b constantes Escribir ecuación de forma cómoda Se integra facilmente La constante de integración A se saca de la condición inicial Se sustituye An en la solución El paso 2 puede sustituirse por Que es idéntica a la obtenida en el paso 4 Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

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Ejemplo 1: Balance de agua en la situación inicial E Q e Q s Entradas = Salidas Q e = Q s + E luego E = Qe - Qs = 110 – 10 L/s = 100 L/s Cambio de unidades: E = 100 L/s · 3,15·10 7 s/año·10 - 3 m 3/L = 3,15·10 6 m 3/año La superficie del lago será tal que se puede evaporar este caudal: E = S.e Como la pendiente horizontal es del 1%, la profundidad en el centro del lago será de 10 m. Su volumen será: Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC .:tslid

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