Taylor's Formula and Error of Taylor Polynomials

Slide1Section 11.6 – Taylor’s Formula with Remainder

Slide2The Lagrange Remainder of a Taylor Polynomialwhere z is some number between x and c The Error of a Taylor Polynomial where M is the maximum value of on the interval [b, c] or [c, b]

Slide3let f be a function that has derivatives of all orders on theInterval (-1, 1).  Assume f(0) = 1, f ‘ (0) = ½, f ”(0) = -1/4, f ’’’(0) = 3/8 and for all x in the interval (0, 1). a.  Find the third-degree Taylor polynomial about x = 0 for f. b.  Use your answer to part a to estimate the value of f(0.5)

Slide4let f be a function that has derivatives of all orders on theInterval (-1, 1).  Assume f(0) = 1, f ‘ (0) = ½, f ”(0) = -1/4, f ’’’(0) = 3/8 and for all x in the interval  (0, 1). c. What is the maximum possible error for the approximation       made in part b?

Slide5estimate the error that results when arctan x is replaced by

Slide6estimate the error that results when ln(x + 1) is replaced byF ‘’’ (x) has a maximum value at x = -0.1

Slide7find an approximation of ln 1.1 that is accurate to three decimalplaces. We just determined that the error using the second degree expansion is 0.000457.

Slide8use a taylor polynomial to estimate cos(0.2) to 3 decimal placesIf x = 0.2, Alternating Series Test works for convergence

Slide9Use a Taylor Polynomial to estimatewith three decimal place accuracy. Satisfies Alternating Series Test

Slide10Suppose the function f is defined so thata.  Write a second degree Taylor polynomial for f about x = 1 b.  Use the result from (a) to approximate f(1.5)

Slide11Suppose the function f is defined so thatc. for all x in  [1, 1.5],  find an upper bound for the approximation error in part b if

Slide12The first four derivatives ofa. Find the third-degree Taylor      approximation to f at x = 0 b. Use your answer in (a) to find      an approximation of f(0.5) c. Estimate the error involved in the      approximation in (b).  Show your      reasoning.

Slide13The first four derivatives ofa. Find the third-degree Taylor      approximation to f at x = 0 b. Use your answer in (a) to find      an approximation of f(0.5)

Slide14The first four derivatives ofc. Estimate the error involved in the      approximation in (b).  Show your      reasoning.