Bab 13-15: Matriks and Its Operations - Matrix Inverses

Slide1 Bab 1.3 – 1.5 Matriks  & Operasinya Matriks invers  

Slide2Matriks:1. Suatu kumpulan nilai bentuk empat-persegi-panjang 2. Terdiri dari baris-baris dan kolom-kolom 3. Tiap nilai dalam matriks disebut  entri ; cara menyebutkan entri adalah dengan subskrip / indeks (baris, kolom) Contoh: Matriks A =  1 5 9 semua entri:  real 7 3 0 Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom A  1,1  = 1 A  1,2  = 5 A  1,2  = 9 A  2,1  = 7 A  2,2  = 3 A  2,3  = 0

Slide3Definisi-definisi:1. Matriks A = matriks B jika ukuran baris A & baris B dan ukuran kolom A & kolom B sama; dan entri A i,j  = entri B i,j 2. C = A    B, maka C i,j  = A i,j     B i,j 3. M = cA ( c =  real  / skalar), maka M i,j   =   cA i,j 4. Jika A 1 , A 2 , …, A n  adalah matriks-matriks berukuran sama, dan c 1 , c 2 , …, c n  adalah bilangan-bilangan skalar, maka c 1  A 1  + c 2 A 2  + …+ c n A n disebut kombinasi linier dari A 1 , A 2 , …, A n  dengan koefisien c 1 , c 2 , …, c n . 5. Suatu matriks dapat di-partisi menjadi beberapa submatriks dengan “menarik” garis horisontal dan/atau garis vertikal. Contoh:    A  =  a 11    a 12    a 13     a 14 a 21    a 22    a 23     a 24 a 31    a 32    a 33     a 34 A 11                      A 21      A 21                       A 22 A  =  a 11    a 12    a 13     a 14              r 1 a 21    a 22    a 23     a 24                r 2 a 31    a 32    a 33     a 34                r 3

Slide4Definisi-definisi (lanjutan): 6. Matriks A dikalikan dengan matriks B; syaratnya adalah banyaknya kolom A = banyaknya baris B. Catatan: perhatikan bahwa perkalian matriks (kedua matriks bujursangkar dengan ukuran sama) tidak komutatif (AB ≠ BA) Contoh:   A =     -1    0                B  =       1    2                                 2    3                                 3    0            AB =     -1    -2                  BA =      3    6                                11      4                          -3    0   kesimpulan : AB ≠ BA 7. Transpos(A) = matriks A dengan baris-kolom ditukar tempatnya 8. Trace(A) = jumlah semua entri diagonal A = A  11  + A  22  + … + A  nn

Slide5Sifat perkalian matriks:Jika A matriks bujur sangkar, maka 1. (A r ) (A s ) = A ( r+s ) 2. (A r ) s  = A  ( rs )

Slide6Sifat-sifat matriks transpos:1. (A T ) T  = A 2. (kA) T  = k (A T ) 3. (A    B) T = A T     B T 4. (AB) T = B T A T

Slide7Matriks-matriks khusus:1. Matriks O = matriks nol; semua entrinya nol 2. Matriks I n  = matriks identitas berukuran (n x n);         semua entri diagonalnya = 1, entri lain = 0 3. Matriks (vektor) baris adalah matriks dengan 1 baris. 4. Matriks (vektor) kolom adalah matriks dengan 1 kolom.

Slide8Teorema: A, B, C merepresentasikan matriks     a, b  merepresentasikan bilangan skalar 1. A +B = B +A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. A(BC) = (AB)C 4. A(B    C) = AB    AC 5. (B    C)A = BA    CA 6. a(B    C) = aB    aC 7. (a    b)C = aC    bC 8. a(bC) = (ab)C 9. a(BC) = (aB)C = B(aC)

Slide9Teorema:    A, O merepresentasikan matriks   O adalah matriks nol (semua entrinya = nol) 1. A + O = O + A = A 2. A – A = O 3. O – A = – A 4. AO = O;  OA = O

Slide10Teorema:A adalah matriks bujur sangkar berukuran (n x n) R adalah bentuk eselon-baris-tereduksi dari A. Maka R berisi (satu/lebih) baris dengan entri nol seluruhnya, atau R adalah matriks identitas I n . Contoh: A =  2 3 4 1 3/2 2 1 6 7 1  6 7 8 0 9 1  0          9/8 baris-1 x (1/2); baris-3 x (1/8)

Slide11Invers dari sebuah matriks:A adalah matriks bujur sangkar Jika AB = BA = I maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B. (invers matriks A dinotasikan dengan A – 1 ) Jika B adalah invers dari A dan C adalah invers dari A maka B = C A =  a b dan   D = ad – bc    0, maka invers A c d          dapat dihitung dengan A – 1   = (1/D)    d – b – c    a

Slide12Sifat-sifat matriks Invers:Matriks A, B adalah matriks-matriks invertibel 1. (A  – 1 ) – 1  = A 2. A n  invertibel dan (A n ) – 1  = (A – 1 ) n 3. (kA) adalah matriks invertibel dan (kA) – 1   = (1/k) A – 1 4. A T  invertibel dan (A T ) – 1  = ( A – 1 ) T 5. A dan B keduanya matriks invertibel, maka  AB invertibel dan (AB) – 1   = B – 1 A – 1

Slide13algoritma untuk mencari invers sebuah matriks a (n x n)ubah menjadi matrix identitas dengan menggunakan  OBE . Contoh:   1 2 3    1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1                             matriks A                          matriks identitas I

Slide1412 3    1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 dengan OBE  dihasilkan   1 0 0         -40 16  9 0 1 0           13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1      matriks A            invers A

Slide1512 3         -40 16  9 2 5 3           13 -5 -3 1 0 8 5 -2 -1   jika kedua matriks ini dikalikan, akan didapat      matriks A                             invers A – 40 + 26 +15 16 – 10 – 6 9 – 6 – 3 – 80 + 65 + 15 32 – 25 – 6  18 – 15 – 3 – 40 + 0 + 40 16 – 0 – 16  9 – 0 – 8

Slide16Aplikasi:jika   A  =   matrix ( nxn ) yang punya invers (invertible / dapat dibalik), maka dalam sebuah Sistem Persamaan Linier:               Ax = B      x = A -1 B Contoh :   dalam mendapatkan solusi dari   Sistem Persamaan Linier x 1  + 2x 2  + 3x 3  = 1          2x 1 + 5x 2  + 3x 3  = 1 x 1         + 8x 3  = 1   matriks  A  berisi koefisien-koefisien dari x 1 , x 2 , x 3   vektor     x   = (x 1 , x 2 , x 3 ) yang dicari   vektor     B   = (1, 1, 1) T

Slide17Contoh:Akan dicari solusi dari Ax = b, di mana A     = 1 2 3 b  =     1 2 5 3  1 1 0 8  1 x  =  A  –1  b   =           -40 16  9       1     =       -15   13 -5 -3       1     5    5 -2 -1       1     2

Slide18    Solusi dari Ax = b  adalah x  sbb.:           A     = 1 2 3 b   =     1             2 5 3  1             1 0 8  1 x   =      -15 Cek:  apakah benar A x  =  b  ?    5    2 –15 + 10 + 6 –30 + 25 + 6 –15 + 0 + 16

Slide19Matriks Elementer:Matriks A(nxn) disebut elementer jika A dihasilkan dari matriks identitas I n  dengan  satu  Operasi Baris Elementer. Contoh: I 3  =  1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 1  =  1 0 1 A 1  =  1 0 1 0 1 0 0 6 0 0 0 1 0 0 1

Slide20Teorema:A (nxn) matriks bujur sangkar. Maka yang berikut ini ekivalen (semuanya benar, atau semuanya salah) 1. A invertibel 2. Ax = 0 punya solusi trivial saja 3. Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I n 4. A dapat dinyatakan dalam perkalian matriks- matriks elementer

Slide21Bab 1.7Matriks-matriks dengan bentuk khusus

Slide22Matriks A(n   n) bujur sangkar,  artinya banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A. Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar antara lain: 1. Matriks diagonal D 2. Matriks segi-3 atas 3. Matriks segi-3 bawah 4. Matriks simetrik

Slide231.Matriks diagonal D: a ij  = 0 untuk i    j a 11   0 0 0 0 0   a 22 0 0 0 0 0   a 33 0  0 ……………………………………… 0 0  0 0   a nn d 1   0 0 0 0 0   d 2 0 0 0 0 0  d 3 0  0 ……………………………………… 0 0  0 0   d n

Slide242.Matriks segi-3 atas: a ij  = 0 untuk i > j a 11    a 12    a 13    a 14    a 15    …………  a 1n 0  a 22   a 23    a 24    a 25    …………  a 2n 0  0  a 33   a 34    a 35    ..……..…  a 3n ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 0  0  0   0  0   ……………  a nn

Slide253.Matriks segi-3 bawah: a ij  = 0 untuk i < j a 11    0  0   0  0   ……………  0 a 21    a 22   0   0  0   ……………  0 a 31    a 32    a 33   0  0   ……………  0 ………………………………………………………  0 ………………………………………………………  0 ………………………………………………………  0 a n1    a n2    a n3     a n4    a n5  ……………  a nn

Slide264.Matriks simetrik: a ij  = a ji a 11     a 12     a 13     ……………………….   a 1n a 21     a 22    a 23      …………………………..… a 31     a 32      a 33    ………………..…………… ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. a n1   …………………………………………………   a nn

Slide27Teorema:1. Transpos dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 atas; transpos dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 bawah. 2. Perkalian dua matriks segi-3 bawah menghasilkan matriks segi-3 bawah; perkalian dua matriks segi-3 atas menghasilkan matriks segi-3 atas. 3. Matriks segi-3 invertibel jika dan hanya jika semua entri diagonalnya  tidak  nol. 4. Invers dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 bawah. 5. Invers dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 atas.

Slide28Teorema:A dan B matriks simetrik, k adalah skalar 6. A T  simetrik 7. A + B = A – B 8. Matriks kA simetrik 9. Jika A invertibel, maka A –1  simetrik Teorema: 10. Jika A matriks invertibel, maka AA T  dan A T A juga invertibel.