Penyelesaian Analitis Persoalan Optimasi menggunakan Model Matematika Simbolik

Slide1Riset OperasionalPertemuan 4 & 5 Penyelesaian Analitis Persoalan Optimasi Vivi Tri Widyaningrum,S.Kom, MT

Slide2PendahuluanDasar dalam pembahasan penyelesaian analitis persoalan optimasi ini adalah Mathematic (Simbolic) Model yang telah dipelajari sebelumnya.

Slide31. Optimasi Tanpa KendalaBentuk umum     Min f(x) f(x) adalah fungsi skalar yang didefinisikan pada ruang vektor  x     Rn Penyelesaian dari persoalan diatas dapat dicari dengan cara sbb:  bila x* adalah titik minimum maka   f(x*) = 0  bila H(x*) adalah definit positif maka x* yang memenuhi syarat   f(x*) = 0 adalah titik minimum

Slide4Contoh :

Slide5Penyelesaian :

Slide6Lanjutan…        yang merupakan calon (kandidat) penyelesaian dari persoalan H (x*) =               adalah definit positif        adalah titik minimum, dengan      Z = 3x 1 2  + 2x 2 2  + 4x 1 x 2  – 6x 1  -8x 2  + 6        = 3(-1) 2  + 2(3) 2  + 4(-1)(3) – 6(-1) – 8(3) + 6     = -3

Slide7Fungsi Konveks & Fungsi Konkavf konkav    -f adalah konveks fungsi linear    fungsi konveks & juga fungsi konkav f adalah konveks jika:   matriks Hessiannya adalah definit positif f adalah konkav jika:   matriks Hessiannya adalah definit negatif S adalah himpunan konveks jika:   himpunan yang kombinasi konveks dua dari anggotannya adalah anggota himpunan itu.

Slide82. Optimasi Dengan Kendala PersamaanBentuk umum  : Min f(x) st  h i (x) = 0;  i  = 1, 2, 3,…, n [st : subject to ( dengan syarat )    kendala] Contoh :

Slide9        tidak memenuhi h(x) = 0Jadi          bukan penyelesaian persoalan diatas x* adalah penyelesaian dari persoalan diatas    x*    A dimana = { x   h(x) = 0 } A adalah himpunan titik–titik vektor x yang memenuhi semua kendala   A disebut daerah layak dari persoalan tersebut atau Feasible Region Lanjutan…

Slide10x* adalah penyelesaian dari    x*    A = { x   h(x) = 0}      dan  f(x*)    f(x)     x    A Untuk menyelesaikan persoalan optimasi dengan kendala persamaan dipergunakan fungsi lagrange : Dengan ini persoalan optimasi dapat diubah menjadi persoalan optimasi tanpa kendala dalam bentuk : Min L ( x ,    ) ( x*,   * )    penyelesaian dari L ( x ,   )       L ( x*,  * ) = 0 Lanjutan…

Slide11Contoh :

Slide12Penyelesaian :

Slide13Lanjutan…Calon penyelesaiannya adalah x* =

Slide14Bila L(x, ) adalah konveks maka x*    titik minimum yg dicari  f(x*) adalah konveks karena H(x) definit positif  h(x*) adalah konveks karena linear  L ( x*,   * )  = f(x*) +   * h(x*) + 4h(x*)  = konveks + konveks = konveks Jadi x* =               Titik penyelesaian Lanjutan…

Slide15Catatan : syarat perlu   L(x,  ) = 0  syarat cukup L(x,  ) harus konveks  f(x) harus konveks  h(x) dengan    positif harus konveks  h(x) dengan    negatif harus konkav Lanjutan…

Slide16Latihan SoalMin st