Mathematical Study of Knots

Mathematical Study of Knots

Knots have puzzled mathematicians for a century, revealing fascinating concepts such as knot theory and topology.

  • Uploaded on | 2 Views
  • kirilo kirilo

About Mathematical Study of Knots

PowerPoint presentation about 'Mathematical Study of Knots'. This presentation describes the topic on Knots have puzzled mathematicians for a century, revealing fascinating concepts such as knot theory and topology.. The key topics included in this slideshow are . Download this presentation absolutely free.

Presentation Transcript

Slide2Knots have been studied extensively bymathematicians for the last hundred years. One of the most peculiar things which emerges as you study knots is how a category of objects as simple as a knot could be so rich in profound mathematical connections Knot Theory is the mathematical study of knots. A mathematical knot has no loose or dangling ends; the ends are joined to form a single twisted loop. Knots

Slide3The Reidemeister MovesReidemeister moves change the projection of the knot. This in turn, changes the relation between crossings, but does not change the knot.                                                   3. Slide a strand from one side of a crossing to the other:                                                   2. Add or remove two crossings (lay one strand over another):                                                   1. Take out (or put in) a simple twist in the knot:

Slide4Famous KnotsTrefoil Figure Eight Unknot In order to talk mathematically about knots, I have to show them in some kind of way, to have a method of describing them. I did this for the simplest knots by using a piece of string or rope, which nicely shows the 3-dimensional nature of the object. Here are some of the most famous knots, all known to be inequivalent. In other words, none of these three can be rearranged to look like the others. However, proving this fact is difficult. This is where the mathematics comes in.

Slide5Crossings – What are they?Each of the places in a knot where 2 strands touch and one passes over (or under) the other is called a crossing . The number of crossings in a knot is called the crossing number. A zero knot has 0 crossings A trefoil knot has 3 crossings. On the left shows a picture with 9 crossings

Slide6Prime KnotsThe first few prime numbers are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . . Any number can be written as a product of a set of prime numbers. Here is an example: 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2 x 5 x 3 x 2. The number 60 determines the list 2, 2, 3, 5 of primes, but not the order in which they are used. The same is true for knots. A prime knot is one that is not the sum of simpler knots .            To work out the number of knots with a number of crossings, a table is given below where it compares the number of prime knots against crossing number n n 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 Number  of  prime  knots with  n  crossings Number  of  prime  knots with  n  crossings 1 1 1 1 2 2 3 3 7 7 21 21 49 49 165 165 553 553 2176 2176

Slide7Torus Knots – What are they?Torus is the mathematical name for an inner tube or doughnut. It is a special kind of knot which lies on the surface of an unknotted torus. Each torus knot is specified by a pair of coprime integers  p  and  q . The ( p , q )-torus knot winds  q  times around a circle inside the torus, which goes all the way around the torus, and  p  times around a line through the hole in the torus, which passes once through the hole, On the left/right shows a picture called (15,4) torus knot because it is wrapped 15 times one way and 4 times the other

Slide8(p,q) torus knotsThe ( p , q )-torus knot can be given by the parameterization This lies on the surface of the torus given by ( r  − 2)2 +  z 2 = 1

Slide9Arithmetic of knotsFrom this we can make a general rule about the addition of knots: K + L = L + K. This is called commutativity. Below shows how you add 2 knots together

Slide10here is a collection of torus knots arranged according to crossingnumber