Mean Reverting Models in Financial and Energy Markets

Mean Reverting Models in Financial and Energy Markets

In this colloquium, Anatoliy Swishchuk from the Mathematical and Computational Finance Laboratory at the University of Calgary discusses Mean Reverting Models (MRM) in the

About Mean Reverting Models in Financial and Energy Markets

PowerPoint presentation about 'Mean Reverting Models in Financial and Energy Markets'. This presentation describes the topic on In this colloquium, Anatoliy Swishchuk from the Mathematical and Computational Finance Laboratory at the University of Calgary discusses Mean Reverting Models (MRM) in the. The key topics included in this slideshow are . Download this presentation absolutely free.

Presentation Transcript

Slide1Mean-Reverting Modelsin Financial and Energy Markets Anatoliy Swishchuk Mathematical and Computational Finance Laboratory, Department of Mathematics and Statistics, U of C Colloquium Thursday, March 31, 2005

Slide2Outline• Mean-Reverting Models (MRM): Deterministic vs. Stochastic • MRM in Finance: Variances (Not Asset Prices) • MRM in Energy Markets: Asset Prices • Some Results: Swaps, Swaps with Delay, Option Pricing Formula (one-factor models) • Drawback of One-Factor Models • Future Work

Slide3Mean-Reversion Effect• Violin (or Guitar) String Analogy : if we pluck the violin (or guitar) string, the string will revert to its place of equilibrium • To measure how quickly this reversion back to the equilibrium location would happen we had to pluck the string • Similarly, the only way to measure mean reversion is when the variances of asset prices in financial markets and asset prices in energy markets get plucked away from their non-event levels and we observe them go back to more or less the levels they started from

Slide4The Mean-Reversion Deterministic Process

Slide5Mean-Reverting Plot (a=4.6,L=2.5)

Slide6Meaning of Mean-Reverting Parameter• The greater the mean-reverting parameter value,  a , the greater is the pull back to the equilibrium level • For a daily variable change, the change in time, dt , in annualized terms is given by 1/365 • If  a =365 , the mean reversion would act so quickly as to bring the variable back to its equilibrium within a  single day • The value of 365/ a  gives us an idea of how quickly the variable takes to get back to the equilibrium-in days

Slide7Mean-Reversion Stochastic Process

Slide8Mean-Reverting Models inFinancial Markets • Stock (asset) Prices follow geometric Brownian motion • The Variance of Stock Price follows Mean-Reverting Models

Slide9Mean-Reverting Models inEnergy Markets • Asset Prices follow Mean- Reverting Stochastic Processes

Slide10Heston Model for Stock Price andVariance Model for Stock Price (geometric Brownian motion): or follows Cox-Ingersoll-Ross (CIR) process deterministic interest rate,

Slide11Standard Brownian Motion andGeometric Brownian Motion Standard Brownian motion Geometric Brownian motion

Slide12Heston Model: Variance follows mean-reverting  (CIR) process or

Slide13Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Model for StochasticVariance (Volatility) The model is a mean-reverting process, which pushes away  from zero to keep it positive . The drift term is a restoring force which always points towards the current mean value      .

Slide14Swaps• Stock ( a security representing partial ownership of a company ) • Bonds  ( bank accounts ) • Option  ( right  but not obligation to do something in the future ) • Forward contract ( an agreement to buy or sell something in a future date for a set price: obligation ) • Swaps - agreements between two counterparts to exchange cash flows in the future to a prearrange formula:  obligation Basic Securities Derivative Securities Security - a piece of paper representing a promise

Slide15Variance and Volatility Swaps• Volatility swaps  are forward contracts on future realized stock volatility • Variance swaps are forward contract on future realized stock variance Forward contract- an agreement to buy or sell something at a future date for a set price (forward price) Variance  is a measure of the uncertainty of a stock price . Volatility (standard deviation)  is the square root of the variance (the amount of “noise”, risk or variability in stock price ) Variance=(Volatility)^2

Slide16Realized Continuous Variance andVolatility Realized (or Observed) Continuous Variance: Realized Continuous Volatility: where           is a stock volatility ,         is expiration date or maturity .

Slide17Variance SwapsA Variance Swap  is a forward contract on realized variance. Its payoff at expiration is equal to ( K var   is the delivery price for variance and  N  is the notional amount in $ per annualized variance point)

Slide18Volatility SwapsA  Volatility Swap  is a forward contract on realized volatility. Its payoff at expiration is equal to :

Slide19How does the Volatility  Swap   Work?

Slide20Example: Payoff for Volatility and VarianceSwaps K var   =  (18%)^2;   N =   $50,000/( one volatility point )^2. Strike price  K vol  =18 % ;  Realized Volatility =21%; N   =$50,000 /( volatility point ).        Payment(HF to D )=$50,000(21%-18%)=$150,000. For Volatility Swap : For Variance Swap :       Payment(D to HF )=$50,000(18%-12%)=$300,000. b)  volatility decreased to 12%: a)  volatility increased to 21%:

Slide21Valuing of Variance Swap forStochastic Volatility Value of Variance Swap (present value): where  E  is an expectation (or mean value),  r  is interest rate . To calculate variance swap we need only E{V}, where and

Slide22Calculation E[V]

Slide23Valuing of Volatility Swapfor Stochastic Volatility Value of volatility swap: To calculate  volatility swap  we need not only  E{V} ( as in   the case of variance swap ),  but also  Var{V}. We use second order Taylor expansion for square root function .

Slide24Calculation of Var[V](continuation) After calculations: Finally we obtain:

Slide25Numerical Example:S&P60 Canada Index

Slide26Numerical Example: S&P60 CanadaIndex • We apply the obtained analytical solutions to price a swap on the volatility of the S&P60 Canada Index for five years (January 1997- February 2002) • These data were kindly presented to author by  Raymond Theoret (University of Quebec,    Montreal, Quebec,Canada)  and Pierre Rostan  (Bank of Montreal, Montreal, Quebec,Canada)

Slide27Logarithmic ReturnsLogarithmic Returns: Logarithmic returns  are used in practice to define discrete sampled variance and volatility where

Slide28Statistics on Log-Returns ofS&P60 Canada Index for 5 years (1997-2002)

Slide29Histograms of Log. Returnsfor S&P60 Canada Index

Slide30 S&P60 Canada Index Volatility Swap

Slide31Realized Continuous Variance forStochastic Volatility with Delay Initial Data deterministic function Stock Price

Slide32Equation for Stochastic Variance withDelay (Continuous-Time GARCH Model) Our (Kazmerchuk, Swishchuk, Wu (2002) “The Option Pricing Formula for Security Markets with Delayed Response”) first attempt was: This is a continuous-time analogue of its discrete-time GARCH(1,1) model J.-C. Duan remarked that it is important to incorporate the expectation of log-return into the model

Slide33Stochastic Volatility with DelayMain Features of this Model • Continuous-time analogue of GARCH(1,1 ) • Mean-reversion • Does not contain another Wiener process • Complete market • Incorporates the   expectation of log-return

Slide34Valuing of Variance Swap forStochastic Volatility with Delay Value of Variance Swap (present value): To calculate variance swap we need only E{V}, where and where  E  is an expectation (or mean value),  r  is interest rate .

Slide35Continuous-Time GARCH Model

Slide36Deterministic Equation forExpectation of Variance with Delay There is no explicit solution for this equation besides stationary solution.

Slide37Valuing of Variance Swap withDelay in General Case We need to find  E P* [Var(S)]:

Slide38Numerical Example 1: S&P60 CanadaIndex (1997-2002)

Slide39Dependence of Variance Swap with Delayon Maturity (S&P60 Canada Index )

Slide40Variance Swap with Delay (S&P60 Canada Index)

Slide41Numerical Example 2: S&P500(1990-1993)

Slide42Dependence of Variance Swap with Delayon Maturity (S&P500)

Slide43Variance Swap with Delay (S&P500 Index)

Slide44Mean-Reverting Models in EnergyMarkets

Slide45Explicit Solution for MRAM

Slide46Explicit Option Pricing Formula for EuropeanCall Option under Physical Measure


Slide48Mean-Reverting Risk-Neutral Asset Model (MRRNAM)


Slide50Explicit Solution for MRRNAM

Slide51Explicit Option Pricing Formula for EuropeanCall Option under Risk-Neutral Measure

Slide52Numerical Example: AECO Natural Gas Index(1 May 1998-30 April 1999) (Bos,  Ware, Pavlov: Quantitative Finance, 2002)

Slide53Variance for New GaussianProcess

Slide54Mean-Value for MRRNAM

Slide55Mean-Value for MRRNAM

Slide56Volatility for MRRNAM

Slide57Price C(T) of European Call Option (S=1)(Sonny Kushwaha, Haskayne School of Business, U of C, (my student, AMAT371))

Slide58European Call Option Price for MRM( Sonny Kushwaha, Haskayne School of Business, U of C, (my student, AMAT371))

Slide59L. Bos, T. Ware and Pavlov (Put Option)(Quantitative Finance, V. 2 (2002), 337-345)

Slide60Comparison (Put  vs.  Call)

Slide61Drawback of One-Factor Mean-Reverting Models • The long-term mean L remains fixed over time : needs to be recalibrated on a continuous basis in order to ensure that the resulting curves are marked to market • The biggest drawback is in option pricing: results in a model-implied volatility term structure that has the volatilities going to zero as expiration time increases  ( spot volatilities have to be increased to non-intuitive levels so that the long term options do not lose all the volatility value-as in the marketplace they certainly do not )

Slide62Conclusions• Variances of Asset Prices  in  Financial Markets follow Mean-Reverting Models • Asset Prices in Energy Markets  follow  Mean- Reverting Models • We can price variance and volatility swaps for an asset in financial markets • We can price options for an asset in energy markets • Drawback: one-factor models ( L  is a constant) • Future work: consider two-factor models: S (t) and L (t) (L->L (t)) (possibly with jumps)

Slide63Future work I.(Joint Working Paper  with T. Ware: Analytical Approach (Integro - PDE), Whittaker functions)

Slide64Future Work II(Probabilistic Approach: Change of Time Method).

Slide65Acknowledgement• I’d like to thank very much to Robert Elliott, Gordon Sick, Tony Ware and Graham Weir for valuable suggestions and comments, and to all the participants of the “Lunch at the Lab” (weekly seminar, usually Each Thursday, at the Mathematical and Computational Finance Laboratory) for discussion and remarks during all my talks in the Lab .

Slide66Thank you for yourattention!