ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR - PowerPoint PPT Presentation

asemanarea triunghiurilor l.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR PowerPoint Presentation
ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR

play fullscreen
1 / 14
Download Presentation
darby
Views
Download Presentation

ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR

Presentation Transcript

  1. ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR

  2. TEOREMA LUI THALES • O paralela la o latura a unui triunghi determina pe celelalte doua, segmente proportionale • i) Cazul: D(AB), E(AC) • DE BC •  A D E B C

  3. A • i) Cazul:D(AB; E(AC • ii) Cazul: D(BA; E(CA E D B C A D E C B

  4. ~ A TRIUNGHIURI ASEMENEA Doua triunghiuri sunt asemenea daca au unghiurile respectiv congruente si laturile omoloage proportionale A’ B C B’ C’

  5. TEOREMA FUNDAMENTALA A ASEMANARII TEOREMA FUNDAMENTALA A ASEMANARII • O paralela la o latura a unui triunghi formeaza cu celelalte doua un triunghi asemenea cu cel dat. • DE  BC ∆ADE ~∆ABC A D E C B

  6. CRITERII DE ASEMANARE • Doua triunghiuri sunt asemenea daca au: • 1. Cate un unghi congruent si laturile care-l formeaza proportionale: L.U.L; • 2. Cate doua unghiuri respectiv congruente: U.U; • 3. Laturile omoloage proportionale: L.L.L.

  7. APLICATII 1.Teorema bisectoarei; 2. Teorema lui Menelaus; 3. Teorema lui Ceva

  8. 1. TEOREMA BISECTOAREI • Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determina pe latura pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care formeaza unghiul. • [AE bisABC M A B C E

  9. Demonstratie (teorema directa) • Demonstratie ( teorema reciproca)

  10. 2. TEOREMA LUI MENELAUS • Daca o dreapta d intersecteaza toate laturile unui triunghi ABC in punctele MAB, NBC, PAC, atunci este verificata relatia: A a d M F E P b G c N B C

  11. Demonstratia teoremei lui Menelaus: • RECIPROCA TEOREMEI LUI MENELAUS • Daca pe leturile triunghiului ABC luam punctele MAB, NBC, PAc astfel incat sa verifice relatia : atunci punctele M,N,P sunt coliniare. Demonstratia teoremei reciproce:

  12. Teorema lui Ceva. • Daca M, N, P sunt puncte pe laturile [AB], [BC], respectiv [AC],astfel incat AN, BP si CM sunt concurente in O, atunci este verificata relatia: • Demonstatia se face cu ajutorul teoremei lui Menelaus aplicata in∆ ABN,MCsecanta si in∆ANC,BP secanta.Inmultind relatiile obtinute membru cu membru avem: Deci prin simplificare obtinem relatia din teorema. A M P O C B N

  13. Reciproca teoremei lui Ceva • Daca pe laturile [AB], [BC], [AC] se iau punctele M, N, respectiv P astfel incat verifica relatia: atunci AN, BP si CM sunt concurente . Demonstratia se face prin reducere la absurd.Presupunem ca AN nu trece prin O,{O}= CPBM. Fie AOBC={N’}. Aplicand teorema lui Ceva pentru punctele M, P si N’ si comparand cu relatia din enunt obtinem ca N = N’

  14. SUCCES!