x a b a ab b x x

1. 2 x 3 = 9 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x + 5 = 6 (x 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 2 x = 12 + x

2. Se a un numero addizioniamo 5 e poi sottraiamo il numero stesso, otteniamo 5. Questa frase pu essere tradotta in un uguaglianza . Infatti, se indichiamo con x il numero, possiamo scrivere: Questa uguaglianza vera per qualsiasi valore attribuito alla lettera x , per esempio: x + 5 x = 5 se x = 2 allora 2 + 5 2 = 5 5 = 5 se x = 0 allora 0 + 5 0 = 5 5 = 5 Unuguaglianza di questo tipo si chiama identit . L identit unuguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere che in essa figurano.

3. Il doppio di un numero relativo addizionato al numero stesso d come somma il triplo del numero. In termini matematici: 2 x + x = 3 x 3 x = 3 x Tale uguaglianza unidentit perch verificata per qualsiasi valore venga attribuito alla lettera x. Il triplo di un numero aumentato del suo doppio uguale al quintuplo del numero. Traduci questa frase in una espressione letterale: ................... una identit? Luguaglianza ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 unidentit perch verificata per qualsiasi valore delle lettere a e b ; per esempio: se a = 0 e b = 1 allora (0 + 1) 2 = 0 2 + 2 0 1 + 1 2 , cio 1 = 1; se a = 3 e b = 1 allora (3 + 1) 2 = 3 2 + 2 3 1 + 1 2 , cio 16 = 16 . 3x +2x = 5x 5x = 5x una identit

4. Se a un numero naturale addizioniamo 5, otteniamo 6. In termini matematici: x + 5 = 6 Tale uguaglianza vera solo per un particolare valore attribuito alla lettera x, e cio il valore 1. Infatti se x = 1 allora 1 + 5 = 6 6 = 6 ( vero ) Unuguaglianza di questo tipo si chiama equazione e la lettera x si dice incognita . Incognita vuol dire non conosciuta . Se invece, per esempio: x = 0 allora 0 + 5 = 6 5 = 6 ( falso ) x = 3 allora 3 + 5 = 6 8 = 6 ( falso ) Un equazione unuguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti allincognita o alle incognite che in essa figurano.

5. Se a un numero relativo aggiungiamo 8, otteniamo 5. Qual il numero? Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze indicano unidentit ( I ) e quali unequazione ( E ). 2 x + 3 x = 5 x ...... 2 x + 3 x = 5 ...... 2 x = 0 ...... 0 x = 0 ...... (x 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 ...... Indicando con y il numero che non conosciamo (lincognita), lequazione che traduce il problema : y + 8 = 5 Luguaglianza vera quando a y attribuiamo il valore 3 . Infatti: 3 + 8 = 5 Troviamo quel numero relativo che, elevato al quadrato, d 25. x 2 = 25 Luguaglianza vera quando a x attribuiamo due valori: 5 o 5 . Infatti: (5) 2 = 25 e (5) 2 = 25 I I E E E Indicando con x lincognita, lequazione :

6. Nelle equazioni lespressione scritta a sinistra delluguale si dice 1 membro ; quella a destra 2 membro : 2 x = 25 1 membro 2 membro 1 membro 1 membro 2 membro 2 membro y + 8 = 5 x 2 = 25 La lettera che compare nelle equazioni, ed esprime un valore numerico variabile, si dice incognita . Il numero che moltiplica lincognita si dice coefficiente dellincognita . I termini che non contengono incognite si dicono termini noti . Il valore che attribuito allincognita rende vera luguaglianza, se esiste, si dice soluzione o radice dellequazione. Unequazione pu avere pi soluzioni o nessuna soluzione.

7. Risolvere unequazione significa trovare le sue soluzioni. La soluzione di unequazione si indica solitamente con una semplice uguaglianza tra lincognita utilizzata e il valore trovato. 2 x = 25 y + 8 = 5 x 2 = 25 a 2 = 36 y = 3 nessuna soluzione x = 5 x = 2 25 Il grado di unequazione a unincognita dato dallesponente massimo con cui essa appare. Se lincognita compare con l esponente 1 si ha unequazione di 1 grado a unincognita y = 2 Se lincognita compare con l esponente 2 si ha unequazione di 2 grado a unincognita x 2 4 = 0

8. Avrai anche studiato le equazioni di Galileo (1564-1642) per il moto, che legano posizione e velocit di un corpo: Lo sviluppo del sapere scientifico disseminato di equazioni famose. Sicuramente ti sar capitato di leggere da qualche parte la celebre equazione di Albert Einstein (1879-1955), che lega lenergia alla massa: E = mc 2 Gli scienziati per descrivere ogni genere di situazione utilizzano spesso equazioni complicatissime. x = x 0 + v t + a t 2 1 2

9. x y = 24 unequazione di 2 grado perch il termine x y un monomio di 2 grado; le incognite sono x e y e il termine noto 24. I valori che rendono vera luguaglianza sono infinite coppie ordinate : (1, 24), (2, 12), (3, 8), (6, 4), .. Indica le incognite, i termini noti e il grado delle seguenti equazioni. 6 x 1 = 15 2 = 4 + 3 a 3 xy = 1 2 x 3 = 9 lincognita x i termini noti sono 3 e 9 unequazione di 1 grado Luguaglianza vera per x = 6 . Luguaglianza vera per x = 5 e x = 5 . x 2 = 25 lincognita x il termine noto 25 unequazione di 2 grado

10. L insieme delle soluzioni di unequazione si indica con S . 2 x = 25 y + 8 = 5 x 2 = 25 a 2 = 36 Nel caso delle equazioni: S = { 3} S = { + 5; 5 } S = S = 2 25 sempre importante considerare linsieme in cui si opera. Quando per unequazione abbiamo S = , lequazione si dice impossibile . Allora diciamo che lequazione impossibile . Infatti pu accadere che: non esista alcun valore che verifichi lequazione. il valore esista ma non sia accettabile perch non appartiene allinsieme di esistenza.

11. Troviamo quel numero intero relativo che uguale a se stesso aumentato di 2 . x = x + 2 x Z La frase che esprime il problema ci fa capire che non pu esistere alcun numero che verifichi questa uguaglianza: quindi lequazione impossibile non solo in Z ma in un qualsiasi altro insieme numerico. Troviamo quel numero naturale il cui doppio uguale a 25 . 2 x = 25 x N Luguaglianza risulta vera quando a x attribuiamo il valore 2 25 infatti 2 = 25 25 = 25 2 25 Lequazione impossibile nellinsieme dei numeri naturali. in N x +1 = 3 5 x + 5 = 5 3 x = 5 in Q a 5 + x = 0 5 x = 9 4 x = 1 in R x 2 = 4 x 2 = 49 Tale valore per non accettabile perch operiamo in N e 2 25 N Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono impossibili. x x x

12. Una equazione una ....................... fra due espressioni algebriche di cui ........................ letterale, verificata solo per .......................... attribuiti alla lettera o alle lettere che in essa figurano. Completa le frasi scegliendo tra i termini particolari valori , almeno due , disuguaglianza , uguaglianza , almeno una , qualsiasi valore . Una identit una ............................ fra due espressioni algebriche di cui ................................ letterale, verificata per .............................. attribuito alle lettere che in essa figurano. uguaglianza almeno una qualsiasi valore particolari valori uguaglianza almeno una

13. Verifica che luguaglianza x 2 2 x + 1 = (1 x ) 2 una identit attribuendo alla lettera x almeno quattro valori a piacere. Se x = ...... allora ........................ Se x = ...... allora ........................ Se x = ...... allora ....................... Se x = ...... allora ........................ Considera lequazione 4 x + 3 = 13 x 2 e i suoi vari elementi. Lequazione assegnata di primo o di secondo grado? .................. Come riconosci se di primo o di secondo grado? .......................... Scrivi: a) una equazione di primo grado con la sola incognita x: ................... b) una equazione di primo grado con le incognite x e y: ..................... c) una equazione di secondo grado con la sola incognita y: ............... primo