Zbiory w logice

1. ZBIORY PODSTAWY

2. Oglne definicje zbiorw zbir jest to zesp (cao) skadajca si z elementw (mniejszych czci) 2 podstawowe rodzaje zbiorw to zbir w sensie kolektywnym (agregat) i zbir w sensie dystrybutywnym (zbir w sensie logicznym). zbir w sensie kolektywnym to cao skadajca si z jaki czci bdcych jej elementami. Np. zbir Himalaje skada si ze wszystkich gr wchodzcych w skad acucha grskiego Himalajw zbir w sensie dystrybutywnym to zesp elementw posiadajcych t sam cech (mona rwnie powiedzie: opisanych za pomoc tego samego predykatu jednoargumentowego). Np. zbir Himalaje skada si tylko z jednego elementu: grskiego acucha Himalajw logika zajmuje si tylko zbiorami w sensie dystrybutywnym i dalej bdzie mowa tylko o takich zbiorach. Dzia logiki zajmujcy si zbiorami nazywa si teori mnogoci ( mnogo w staropolskim to zbir )

3. Symbole zbiory oznacza si najczciej za pomoc duych liter X, Y, Z (czasami rwnie A, B, C), jeli zabraknie nam liter alfabetu, moemy zastosowa dodatkowe oznaczenia, np. Z 1 , Z 2 , Z 3 , X 1 , X 2 , Z itd. zbiory dzieli si na: zbir pusty oznaczany symbolem , uniwersum oznaczane symbolem U , zbiory jednoelementowe , zbiory dwuelementowe , zbiory wieloelementowe uniwersum oznaczane symbolem U to zbir wszystkich zbiorw (wszystkich istniejcych obiektw), uniwersum jest dopenieniem zbioru pustego (i na odwrt) zbiory jedno lub wicej elementowe mona zapisa w postaci nawiasu okrgego w ktrym wyliczone s jego elementy, np. (a), (a,b), (a,b,c) itd. (zapis taki stosujemy, jeli te elementy s okrelone; jeli elementy s nieokrelone, wwczas stosuje si zapis za pomoc liter x, y, z) w zapisach formalnych teorii zbiorw pojawiaj si czsto symbole i , np. a Z. S to predykaty dwuargumentowe naley do oraz nie naley do (w tym ostatnim przypadku jest to predykat dwuargumentowy poczony z negacj)

4. Relacje (stosunki) pomidzy zbiorami identyczno : zbiory s identyczne ze sob, jeli wszystkie elementy maj te same element x naley do zbioru Z, wtedy i tylko wtedy, gdy element x naley rwnie do zbioru Y; jeli element x naley do zbioru Z, to element x naley do zbioru Y, i jeli element x naley do zbioru Y, to element x naley do zbioru Z. Z = Y /\ x (x Z x Y) Z = Y /\ x [(x Z x Y) (x Y x Z)] Np. zbir studentw (x jest studentem) identyczny jest ze zbiorem uczniw szk wyszych (x jest uczniem szkoy wyszej)

5. Relacje (stosunki) pomidzy zbiorami podrzdno : zbir Z jest podrzdny do (zawiera si w) zbioru Y, wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru Z nale do zbioru Y, ale nie wszystkie elementy zbioru Y nale do Z Z Y /\ x (x Z x Y) \/ x (x Z x Y) Uwaga: dla tego typu relacji stosuje si rwnie zapis w postaci symbolu (tzw. inkluzji waciwej), gdy zawieraj si w sobie rwnie zbiory ze sob identyczne) Np. zbir studentw (x jest studentem) jest podrzdny do zbioru uczniw (x jest uczniem)

6. Relacje (stosunki) pomidzy zbiorami nadrzdno : zbir Y jest nadrzdny do zbioru Z, wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru Z nale do zbioru Y, ale nie wszystkie elementy zbioru Y nale do Z Y Z /\ x (x Z x Y) \/ x (x Z x Y) Uwaga: dla tego typu relacji stosuje si rwnie zapis w postaci symbolu , gdy nadrzdne do siebie s rwnie zbiory ze sob identyczne) Np. zbir uczniw (x jest uczniem) jest nadrzdny do zbioru studentw (x jest studentem)

7. Relacje (stosunki) pomidzy zbiorami krzyowanie si : zbir Z krzyuje si ze zbiorem Y, wtedy i tylko wtedy gdy istniej elementy ktre nale do Z i do Y, istniej elementy ktre nale do Z ale nie nale do Y, i istniej elementy ktre nale do Y ale nie nale do Z Z krzyuje si z Y [\/ x (x Z x Y) \/ x (x Z x Y) \/ x (x Z x Y)] Np. zbir studentw (x jest studentem) krzyuje si ze zbiorem mieszkacw Gogowa (x jest mieszkacem Gogowa)

8. Relacje (stosunki) pomidzy zbiorami wykluczanie si : zbir Z wyklucza si ze zbiorem Y, wtedy i tylko wtedy gdy nie maj one adnych elementw wsplnych Z )( Y ~ \/ x (x Z x Y) Z )( Y /\ x {[x Z ~ ( x Y)] [ (x Y ~ ( x Z)]} Z )( Y /\ x [(x Z x Y) (x Y x Z)] Np. zbir studentw (x jest studentem) wyklucza si ze zbiorem mieszkacw Biskupina w epoce brzu (x jest mieszkacem Biskupina w okresie brzu)

9. Relacje (stosunki) pomidzy zbiorami wiczenia ustal zalenoci pomidzy nastpujcymi zbiorami: (1) Z delfiny; Y - ssaki morskie: podrzdno, bo wszystkie delfiny s jednoczenie ssakami morskimi ale nie wszystkie ssaki morskie s jednoczenie delfinami, jeli jednak wemiemy pod uwag, e niektre delfiny yj w Amazonce, to wwczas bdzie to krzyowanie si (2) Karpaty - Z; Tatry - Y: wykluczanie si, bo obydwa zbiory s jednoelementowe a jednoczenie Karpaty to nie to samo co Tatry (3) Polacy - Z; studenci - Y: krzyowanie si, bo niektrzy, ale nie wszyscy, Polacy s studentami i na odwrt (4) kwiaty - Z; uczniowie - Y: wykluczanie si, bo aden kwiat nie jest studentem i aden student nie jest kwiatem (5) ysi Z; okularnicy Y: krzyowanie si, bo niektrzy ysi, ale nie wszyscy, s okularnikami, i niektrzy okularnicy, ale nie wszyscy, s ysymi

10. Dziaania na zbiorach suma dwch zbiorw : x naley do sumy zbiorw Z i Y wtedy i tylko wtedy gdy x naley do zbioru Z lub x naley do zbioru Y /\ x (x Z Y x Z x Y) Np. do sumy zbiorw studentw (x jest studentem) i mieszkacw Gogowa (x jest mieszkacem Gogowa) nale wszystkie osoby bdce albo studentem, albo mieszkacem Gogowa (albo jedno i drugie)

11. Dziaania na zbiorach iloczyn dwch zbiorw : x naley do iloczynu zbiorw Z i Y wtedy i tylko wtedy gdy x naley do zbioru Z i x naley do zbioru Y /\ x (x Z Y x Z x Y) Np. do iloczynu zbiorw studentw (x jest studentem) i mieszka- cw Gogowa (x jest mieszkacem Gogowa) nale wszystkie osoby bdce jednoczenie studentem i mieszkacem Gogowa

12. Dziaania na zbiorach rnica dwch zbiorw : x naley do rnicy zbiorw Z i Y wtedy i tylko wtedy gdy x naley do zbioru Z i x nie naley do zbioru Y /\ x (x Z - Y x Z x Y) Np. do rnicy zbiorw studentw (x jest studentem) i mieszka- cw Gogowa (x jest mieszkacem Gogowa) nale wszystkie osoby bdce studentami i nie bdce mieszkacami Gogowa

13. Dziaania na zbiorach dopenienie zbioru : x naley do dopenienia zbioru Z wtedy i tylko wtedy gdy x naley do uniwersum i nie naley do zbioru Z dopenienie danego zbioru oznaczamy symbolem danego zbioru plus znaczek , np. Y to dopenienie zbioru Y /\ x (x Z x U x Z ) Np. do dopenienia zbioru studentw (x jest studentem) nale wszystkie obiekty nie bdce studentami

14. Dziaania na zbiorach - wiczenia ustal sum, iloczyn, rnic (Z Y) i dopenienie sumy dla nastpujcych zbio- rw: (1) Z delfiny; Y - ssaki morskie: suma = wszystkie ssaki morskie (jeli zaoy- my, e wszystkie delfiny to rwnie ssaki morskie, jeli uwzgldni delfiny yjce w Amazonce, wwczas sum bdzie zbir wszystkich ssakw morskich oraz delfinw sodkowodnych); iloczyn = wszystkie delfiny yjce w morzu; rnica = delfiny sodkowodne; dopenienie = wszystkie obiekty nie bdce ssakami morskimi i delfinami sodkowodnymi (2) Karpaty - Z; Tatry - Y: suma = zbir dwuelementowy ktrego elementami s Karpaty i Tatry; iloczyn = Karpaty; rnica = zbir pusty; dopenienie = wszystkie obiekty nie bdce Karpatami i Tatrami (3) Polacy - Z; studenci - Y: suma = wszyscy Polacy oraz wszyscy studenci; iloczyn = wszyscy polscy studenci; rnica = wszyscy Polacy nie bdcy studentami; dopenienie = wszystkie obiekty nie bdce Polakami i studentami (4) kwiaty - Z; uczniowie - Y: suma = wszystkie kwiaty i wszyscy uczniowie; iloczyn = zbir pusty; rnica = wszystkie kwiaty; dopenienie = wszystkie obiekty nie bdce kwiatami i uczniami (5) ysi Z; okularnicy Y: suma = wszyscy ysi i okularnicy; iloczyn = wszyscy ysi okularnicy; rnica = wszyscy ysi; dopenienie = wszystkie obiekty nie bdce ysymi i okularnikami